1、九宫数图概说

（1）九宫数图起源

目前普遍认为，九宫数图即为“洛书”的主要内容，是最早关于数的起源之说（见图1）。《周易&S226;系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之。”[1]但其中并没有明确记载“洛书”的主要内容。直至西汉经学家孔安国的《尚书&S226;洪范传》才提到：“天与禹，洛出书。神龟负文而出列于背，皆有数至于九。禹遂因而第之，以成九类，常道所以次序。” 刘歆注1云：“伏羲氏继天而王，受河图而画之，八卦是也。禹治洪水，赐洛书，法而陈之，九畴是也。” 其九畴，即“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央，正龟背之象也”。[2]

据《史记&S226;夏本纪》记载：夏禹治水时，“左准通，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陈九泽……”。此后大禹以洛书为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之中，从而治理黄河，大获成功。由于神龟所背图是在黄河支流洛水中发现，且图中内容如书一样深奥，故称之为洛书。

而九宫之说首见于《大戴礼记&S226;明堂篇》，其中言到，明堂有“九室”(见图2)，其形上圆下方，其数为：“二四九，七五三，六一八。”其中所记载的九畴、祠庙、太庙、明堂等建筑都用此方法。之后，九宫结构多被用于皇帝的宫室中。《管子&S226;幼官》、《吕氏春秋&S226;十二纪》、《礼记&S226;月令》等典籍中都有关于天子在一年四季分居九个不同宫室的记载。[3]

后人根据九宫数图创造了“九宫算”的计算方法，我国后汉徐岳的《数术记遗》一书中已有记载：“九宫算注2, 五行参数, 犹如循环, 九宫者, 即二四为肩, 六八为足, 左三右七, 戴九履一, 五居中央。” [4]

图2,明堂九室图  张北霞摹绘

（2）九宫数图内在的排列规律

图3：九宫数图  张北霞绘

九宫数图既是一种组合计算，又是一种益智游戏。后来形成的“九宫算”及“排九宫”等都是以九宫数图为基础（见图3）。

九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且九个数相加之和为45，是15的3倍。深入研究其数字的排列组合，可以发现以下规律：

图4：九宫数图中的数列

①其8组数列中包含4组等差数列：[4、5、6] 、[3、5、7]、 [8、5、2] 、[1、5、9]，以5为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为1、2、3、4，又是一个以1为公差的等差数列（如图4示）；

②另四组数列也有一定的规律（如图5示），从图中可以看出，这四个数列相邻两数的差颠倒对称，而且四边的数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复，具体为：上[4、9、2]9-4=5；下[8、1、6]6-1=5；左[4、3、8]8-3=5；右[2、7、6]7-2=5；

③奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同时，中间除5之外的四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四角四个数，具体为：9-7=3-1＝2；9-3=7-1=6；9-1=8；7-3=4（如图6示）。

2、分形艺术的概念

1973 年美籍数学家曼德勃罗特（Mandelbrot）首次提出了分形的概念,他将分形定义为：其组成部分与整体以某种方式相似的“形”。分形是一种几何语言，它是由算法和数学程序集来描述，并将这些算法借助于计算机转换成一些几何形态。

分形从诞生的那天起，就和艺术紧密相关，分形艺术注3不模仿任何自然对象，但在现实中又能找到它的影子，如树木、叶子、山峦、雪花等（如图7），在不同程度上都具有分形的特征，同时，自然界中一些无规则的形也可以用分形几何中的规律加以描述。[5]
分形艺术作为计算机图形艺术的一种，是通过计算机程序计算，生成某种具有审美情趣和科学内涵的图形、动画，并以某种方式向观众演示、播放或展览。

 

分形艺术生成与设计的基本原理, 除了与普通艺术图案具有相同的规律与法则之外, 最突出的就是运用了分形的自相似性, 在造型或构图过程中引入递归或迭代, 以及对局部过程的随机扰动（如图8）[6]。利用这种自相似性,可以构造出千变万化的艺术图案, 是近年来受到广泛关注的艺术形式。就目前已开发的计算机图形设计系统来看, 它们在基本纹样及图案构成的原理和方法上, 主要还是采用传统的欧氏几何方法，即运用美学原理和简单的构图规则, 通过对基本几何元素(点、线、面、体) 构成的纹样进行条理性反复、变换或位置的交叉组合, 各种排列、旋转、对称布局以及色彩变化等, 从而产生各种画面。[7] www.dolcn.com

3、九宫数图在分形艺术中的应用

（1）应用方式研究

九宫数图本身包含有两层概念，一层是数的规律，这在前面已经加以重点分析；另一层是图的概念，通常称为九宫格或九宫图，即在正方形内部以“井”字结构划分为九个均等格。九宫格自古就被用于书法和建筑之中，它用于书法中，和“米”字格一样都是为了便于初学者临帖之用；而用于建筑中的年代更为久远，前面已有提及。

那么在现代分形艺术中，是否也有九宫格的运用呢？我们来看一下著名的分形图形谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯（见图9）。从图中可以直观地看出，它所用到的基本单元形正是九宫格。这虽然只是图形运用上的巧合，但正是这种巧合说明了：将九宫格作为分形图形的一种生成方式，早已有过经典的例证。

那么，引入数字排列后的九宫数图怎样用于分形艺术中呢？以下将重点探讨这个问题。

分形艺术作为计算机图形艺术的一个方面，不仅用于生成各种形状，而且还用于色彩的排列和变化，加入了色彩的分形图形将更深刻地表达分形艺术的意义。

九宫格可以运用到形状的分形中，同样，引入数字后的九宫数图也可以尝试运用到色彩的分形中。因此，笔者作了如下尝试，并称其为九宫分形图形。具体步骤如图10所示：

①将九个不同明度的渐变色按明度由高到低依次编号，并将编号后的色块以九宫数图的位置排列组合，生成一个具有色彩变化的九宫图形；

②以生成的图形作为基本形，作第一步分形变化：阵列四个基本形，生成a1（也即b1），再进行逆时针旋转，生成c1（也即d1，旋转过程如图11所示）；

③以生成的图形再进行第二、三、四步分形，a组和c组为不旋转后的分形图形，b组和d组是每一次分形后，对基本形作逆时针旋转后的分形图形。

在进行四次分形后，生成的图形具有强烈的视觉冲击力，而且随着旋转的方向不同（如作顺时针旋转），生成的图形也会发生变化。以明度渐变色、纯度渐变色和不同色相的色彩作这种色彩分形的尝试，都会得到出乎意料的结果。

（2）九宫分形图形的色彩规律

以上是笔者将九宫数图运用到分形图形艺术中的尝试，那么这样的尝试有没有意义呢？这样的排列有什么样的内在规律呢？要回答这些问题，还是要从视觉艺术的角度加以分析。

前面已经从数学的角度分析了九宫数图内在的排列规律，在图12中，结合九宫数图的数学规律来分析九宫分形图形的色彩规律。

①4、5、6三个色块是连续的、有节奏的渐变，逆时针看，3、5、7三个色块也是有节奏的渐变，但是由于这三个色块中间有了一个色块的间隔，其渐变更明显，节奏感也更强了，同理，2、5、8和1、5、9两组色块排列的节奏感依次增强；

②在九个色块中，5是中间的一个，用九宫数图排列后，5也位于中心位置，由于色彩本身所具有的轻重感注4，排列第五的色块不一定就是这个图形的视觉中心，但是，以它为中心的色彩排列，给整个图形上下和左右间一个合理的过渡，尤其是1和9两个色块跨度大，渐变猛烈，有5在中间能起到很好的过渡作用；

③在图4中分析了其它四个非等差数列中潜藏的规律，其相邻两数的差颠倒对称，而且四边中有四个差值为5，将这一规律结合到图12中，可以发现此图形排列所体现出的相对对称。不论以水平中线还是以垂直中线看，此图形都不是完全对称的，但是，同样的，也是由于色彩的给人的轻重感，使整个图形上下和左右达到了力量上的平衡注5，从而形成了整体上的相对对称。

（3）九宫分形图形中体现出的形式美法则

分形艺术中大量的体现了美学思想中的形式美法则，如重复、节奏、对称和平衡等，同时，分形图形更好的诠释了这些形式美法则，也正是出于这个原因，才使分形图形艺术在艺术这个大家庭里独树一帜。

具体地讲，在九宫分形图形中主要体现出了分形艺术中的以下形式美法则。www.dolcn.com

①重复：重复是艺术中最简单的变化方式。它大都用在装饰艺术里，“在一件艺术品中，同样的一个式样是不能出现两次的，装饰艺术则不受这种限制，在一个任意大小的表面上，可以让一些具有相同特征的装饰式样重复出现”。[8]现在看来，由于分形艺术中所需的自相似性，重复在分形艺术中也是大量运用。在九宫数图分形过程的第一步出现了正方形的重复，在这一步所作的重复只局限于形，而不涉及到色彩，但之后的每一步都保留着一种始终不变的基本形——九宫数图，虽然以这个基本形创造了一连串的变化，但图形整体还保持着紧密的联系。换而言之，由于它们源于同一母体，都属于同一血缘，因而表现出了强烈的自相似性，满足了分形艺术的重要条件，同时达到了整体上的统一与和谐。

②节奏：节奏源于音律，在音乐中，七个音符按照强弱、长短等规律交替出现，就形成了特定的节奏。在九宫数图分形图形中基本元素按照一定的规律排列，并进行位置上的变化，正如一段音乐的形成一样，这种排列和变化只要带有一定的规律，它就能体现出节奏感。当然，在这种节奏形成的过程中，速度对其效果有着决定性的影响，因为变化的速度是可以改变的，既可以是规律的变化，也可以是跳跃性的突然变化，在艺术中后者更为常见。但是，九宫分形图形中集两种变化形式于一体，既有连续的变化，也有跳跃的变化，当然，这种跳跃是被局限在一个范围之内的，这样才不会显得突兀。有了这种变化的结合，形成的图形才更容易让人接受。

③对称：对称可以产生一种极为轻松的心理反应[9]，给一个形注入对称的特征，更容易让观者的神经作用处于平衡状态，从而满足了人的视觉和意识对平衡的需要。但是，虽然对称是简约形和完好形的主要特征，然而，随着艺术的发展，对称在艺术中的使用也越来越少，“艺术一旦脱离开原始期，严格的对称便逐渐消失，这一消除是在对严格对称的形的变态中实现的” ，“演变到后来，这种严格的对称，便逐渐被另一种现象——平衡——所替代”[9]。九宫分形图形最终达到的就是这样一种相对的对称，在继续使用完全的局部对称的同时，用色彩使整个图形达到平衡，从而形成相对对称。

④平衡：对称的构图是平衡的，但平衡的构图不一定就是对称的，平衡更多的是一种心理体验。这一点不仅为心理学的许多试验所验证，也被生活中的许多日常现象所证实。例如，同样高度的建筑物，处于中心位置的就比处于两侧位置的显得小得多。在构图上，为了防止头重脚轻，通常也要把看上去较重的形放在画面的下半部分。这一点在色彩方面的体现，主要是明度和纯度的差别所造成的轻重感对平衡的影响。九宫数图分形图形中所达到的相对对称正是利用了色彩的这种轻重感而达到的视觉和心理平衡。

4、结语

将九宫数图运用到分形艺术中，通过有规律的变换生成一系列具有审美情趣和科学内涵的图案，只是一种新的尝试。从视觉语言的角度看，用这种方式生成的九宫分形图形具有强烈的视觉冲击力，达到了良好的视觉效果，同时，也符合现代人的审美观念。

九宫数图作为我国传统数术之一，只是其中的一个典型代表，将它用于分形艺术中，将为传统数术在现代计算机图形艺术中的运用提供一个例证，也为传统数术在视觉艺术中的应用开辟一条新途径。